Solusi umum dari [tex](6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }}[/tex].
PEMBAHASAN
Persamaan diferensial berbentuk [tex]Mdx+Ndy=0[/tex] disebut eksak jika memenuhi [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}}[/tex].
Solusi dari persamaan diferensial ini adalah [tex]F(x,y)=C[/tex].
Langkah langkah untuk mencari solusinya :
1. Karena [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta x}=M(x,y)}[/tex] maka [tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx +g(y)}[/tex].
2. Turunkan F(x,y) terhadap y.
3. Bandingkan hasil no 2 dengan fungsi N untuk memperoleh fungsi g(y).
.
DIKETAHUI
[tex](6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0[/tex]
.
DITANYA
Tentukan solusi umumnya.
.
PENYELESAIAN
[tex](6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0[/tex]
[tex]\displaystyle{M=6x^2+5y-3~\to~\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=5}[/tex]
[tex]\displaystyle{N=5x-9y^2+2~\to~\frac{\vartheta N}{\vartheta x}=5}[/tex]
Karena [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}}[/tex] maka termasuk persamaan diferesial eksak.
.
> Mencari solusi PD.
[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx }[/tex]
[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {(6x^2+5y-3)} \, dx }[/tex]
[tex]\displaystyle{F(x,y)=2x^3+5xy-3x+g(y) }[/tex]
.
Kita turunkan F(x,y) terhadap y
[tex]\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=5x+g'(y) }[/tex]
.
Karena [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=N }[/tex], maka :
[tex]\displaystyle{5x+g'(y)=5x-9y^2+2 }[/tex]
Dengan menyamakan kedua ruas diperoleh :
[tex]\displaystyle{g'(y)=-9y^2+2 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\int\limits {g'(y)} \, dy =\int\limits {(-9y^2+2)} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{g(y) =-3y^3+2y+C }[/tex]
.
Sehingga solusi dari PD eksak tersebut adalah :
[tex]F(x,y)=C[/tex]
[tex]\displaystyle{2x^3+5xy-3x+g(y)=C }[/tex]
[tex]\displaystyle{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }[/tex]
.
KESIMPULAN
Solusi umum dari [tex](6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }}[/tex].
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- PD eksak : https://brainly.co.id/tugas/41818609
- PD eksak : https://brainly.co.id/tugas/29348546
- PD non eksak : https://brainly.co.id/tugas/28274935
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : x
Mapel: Matematika
Bab : Persamaan Diferensial
Kode Kategorisasi: x.x.x
[answer.2.content]
